Question

如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=

3

，求AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，利用线段成比例证出EG∥CD且FG∥AB，可得EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．分别算出EG、FG的长，在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°，即可得出AB与CD所成的角的大小．

解答：解：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，
∵在△BCD中，

BE

EC

=

BG

GD

=

1

2

，∴EG∥CD  
同理可证：FG∥AB
∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．
∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG=

1

3

CD=1．
又∵在△ABD中，FG∥AB，AB=3，FG：AB=2：3，∴FG=

2

3

AB=2．
在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=

3

，
∴由余弦定理，得cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

1

2

，
∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的锐角为60°．
因此，AB与CD所成的角为60°．

点评：本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角大小．着重考查了空间平行线的判定与性质、余弦定理和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．