Question

16．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（π{x}^{2}+\frac{π}{2}），-1＜x＜0}\\{{π}^{x-1}，x≥0}\end{array}\right.$，若f（1）+f（a）=0，则a的所有可能值为（　　）

• A． 1
• B． 1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据解析式对a进行分类讨论，分别代入函数解析式化简，求再出a的所有可能值．

解答 解：当a≥0时，由f（1）+f（a）=0得，
π^1-1+π^a-1=0，解得a无解；
当-1＜a＜0时，由f（1）+f（a）=0得，
1+$cos（π{a}^{2}+\frac{π}{2}）$=0，则sin（πa²）=1，
所以$π{a}^{2}=\frac{π}{2}$，解得a=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上可得，a的所有可能值是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查分段函数的函数值，以及分类讨论思想，属于基础题．