Question

已知抛物线C以原点为顶点，焦点F在x轴上，其准线交x轴于点N，点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）记抛物线的准线交x轴于点N，过点N直线l交抛物线于A、B两点，若△ABF的面积为4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，设抛物线方程为y²=2px（p＞0），根据点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2，可求得p=2，从而可确定抛物线方程；
（2）点N（-1，0），设直线l方程为x=ky-1代入抛物线方程，利用△ABF的面积为4

3

，可求k=±2，故可求直线l的方程．

解答：解：（1）由题意，设抛物线方程为y²=2px（p＞0）
∵点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2
∴1+

p

2

=2
∴p=2
∴抛物线方程为 y²=4x．
（2）点N（-1，0），设直线l方程为x=ky-1
代入抛物线方程y²=4x，得y²-4ky+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵△ABF的面积为4

3

 
∴

1

2

×2×(y2-y1)=4

3

∴16k²-16=48
∴k=±2
∴直线l的方程x=±2y-1．
经检验，符合题意．

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式．