Question

设F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若

PF12

PF2

的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是

（1，3]

．

Answer 1

分析：设|PF₂|=t，则由双曲线的定义可得|PF₁|=2a+t，推出

P  F 2 1

PF2

的关系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出离心率的范围．

解答：解：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a．
设|PF₂|=t，则|PF₁|=2a+t，
所以

P  F 2 1

PF2

=

4a2+4at+t2

t

=

4a2

t

+t+4a≥2

4a2 t ×t

+4a=8a，
当且仅当 t=2a时，等号成立．
因为P为双曲线右支上任一点，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=

c

a

≤3．
又因为 e＞1，
所以e的范围为 （1，3]．
故答案为：（1，3]．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，并且考查基本不等式的应用，此题能够正确利用 t≥c-a 是解题的关键．