Question

7．设f（x）=xsinx，x∈$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，若f（x₁）＞f（x₂），则下列不等式中必定成立的是（　　）

• A． x₁-x₂＜0
• B． x₁-x₂＞0
• C． x₁²-x₂²＞0
• D． x₁²＜x₂²

Answer 1

分析 先判断函数的奇偶性，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．

解答 解：∵f（x）=xsinx为偶函数，
∴当0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴f′（x）=sinx+xcosx≥0，则函数f（x）在0≤x≤$\frac{π}{2}$上单调递增，
若f（x₁）＞f（x₂），
则等价为f（|x₁|）＞f（|x₂|），
即|x₁|＞|x₂|，
即|x₁|²＞|x₂|²，
即x₁²＞x₂²，
即x₁²-x₂²＞0，
故选：C．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．