Question

8．已知函数$f（x）=sinx+sin（x+\frac{π}{2}）$．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的取值集合；
（2）求f（x）的递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值得出结论．
（2）根据正弦函数的单调性求得f（x）的递减区间．

解答 解：（1）对于函数$f（x）=sinx+sin（x+\frac{π}{2}）$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
它的最小正周期为$\frac{2π}{1}$=2π；
它的最大值为$\sqrt{2}$，此时，x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
故函数取得最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z }．
（2）令 2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{8}$，
故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，2kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，正弦函数的周期性和最大值，正弦函数的单调性，属于基础题．