Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

 （x≠0，常数a=R），若a=0，f（x）=x²+

a

x

为偶函数，若a≠0，f（x）=x²+

a

x

为非奇非偶函数，若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：设2≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立．即可得出结论．

解答： 解：设2≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立．
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立．
又∵x₁+x₂＞4，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查函数单调性的定义，属于中档题．