Question

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一动点．

(1)三棱锥P－ABC的四个面中有几个直角三角形？

(2)面PAC与面PBC所成的二面角的大小是否随动点C的运动变化而变化？说明理由．

(3)若D为PB中点，如何过D作面PAC的垂线？说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥AC，PA⊥AB．∴△PAC、△PAB都是直角三角形．又∵AB为直径，C为圆周角，∴△ACB为直角三角形．又∵BC⊥AC、BC⊥PA，BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC．∴△PBC也为直角三角形．因此，三棱锥P－ABC的四个面中有4个直角三角形． 　　(2)由(1)知BC⊥平面PAC，∴平面PBC⊥平面PAC． 　　无论C点在圆周上任何地方(A、B除外)，平面PBC⊥平面PAC．因此，面PAC与面PBC所成的二面角的大小与C的运动无关． 　　(3)由(1)知面PAC⊥面PBC，又面PAC∩面PBC＝PC，且D∈面PBC， 　　∴过D点作DE⊥PC，E为垂足，则DE⊥面PAC．

提示：

首先根据线线垂直、线面垂直找到图中存在的直角三角形．然后用二面角的定义进行判断．