Question

2．顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），由抛物线经过P（1，2）可得p，即可写出该抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求出|AB|，点P到直线y=x的距离，即可求△ABP的面积．

解答 解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，
可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），----------------------（1分）
由抛物线经过P（1，2）可得p=2．----------------------（2分）
所以抛物线方程为y²=4x，----------------------（3分）
准线方程为x=-1．----------------------（4分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x}\end{array}\right.$----------------------（5分）
得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$----------------------（7分）
可得$|{AB}|=4\sqrt{2}$）--------------------（8分）
点P到直线y=x的距离$d=\frac{{|{1-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$----------------（9分）
所以${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2$．----------------（10分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．