Question

设点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

Answer 1

分析：先设点P的坐标为（x，y），然后由点P到x、y轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过x²求得m的取值范围．

解答：解：设点P的坐标为（x，y），依题设得

|y|

|x|

=2，即y=±2x，x≠0
因此，点P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|-|PN||＜|MN|=2
∵||PM|-|PN||=2|m|＞0
∴0＜|m|＜1
因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故

x2

m2

-

y2

1-m2

=1．
将y=±2x代入

x2

m2

-

y2

1-m2

=1，并解得x2=

m2(1-m2)

1-5m2

≥0，
因为1-m²＞0，所以1-5m²＞0，
解得0＜|m|＜

5

5

，
即m的取值范围为(-

5

5

，0)∪(0，

5

5

)．

点评：本题主要考查双曲线定义及代数运算能力．