Question

设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.

Answer 1

剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值范围.

解：设点P的坐标为(x,y),依题意得=2,即y=±2x(x≠0).              ①

    因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||＜|MN|=2.

    ∵||PM|-|PN||=2|m|＞0,

    ∴0＜|m|＜1.因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.

    故-=1.                                                                 ②

    将①代入②,并解得x²=,

    ∵1-m²＞0,∴1-5m²＞0.

    解得0＜|m|＜,

    即m的取值范围为(-,0)∪(0,).

讲评：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.