Question

设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m(m≠0),到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.

Answer 1

解法一:设点P的坐标为(x,y),

依题设得,即y=±2x(x≠0).                           ①

因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,知|PM|-|PN|＜|MN|=2,

因为||PM|-|PN||=2|m|＞0,

所以0＜|m|＜1.

因此,点P在以M、N为焦点的双曲线上.

故                                              ②

将①式代入②式,得x²=,

因为1-m²＞0,所以1-5m²＞0.

解得0＜|m|＜,

即m的取值范围为(-,0)∪(0,).

解法二:设点P的坐标为(x,y),依题设得,

即y=±2x(x≠0).                                                              ①

由|PM|-|PN|=2m,得

                       ②

由②式,可得

所以|m|＜,且|m|≠0.

由②式移项,两边平方整理,得

m(x-1)²+y²=x-m²,

将①式代入,整理,得

(1-5m²)x²=m²(1-m²),                                                      ③

因为x²＞0,且③式右端大于0,1-5m²＞0.

综上,得m满足0＜|m|＜.

即m的取值范围是(-,0)∪(0,).