Question

2．a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺³，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知推导出$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+3}}$+2=$\frac{3}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+2}}$+2），从而数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+3}}$+2}是首项为$\frac{{a}_{1}}{{2}^{3}}$+2=$\frac{17}{8}$，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺³，a₁=1，
两端同除以2ⁿ⁺³得，$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+3}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+1}}+1$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+3}}$+2=$\frac{3}{2}$（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+2}}$+2），
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+3}}$+2}是首项为$\frac{{a}_{1}}{{2}^{3}}$+2=$\frac{17}{8}$，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n+2}}$+2=$\frac{17}{8}$×（$\frac{3}{2}$）^n-1，
∴a_n=17×3^n-1-2ⁿ⁺³．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．