Question

附加题（10分，总分120以上有效）
（1）设函数f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，则a₁+a₂+…+a₇=________
（2）若S_n=sin+sin+…+sin（n∈N⁺），则在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是________．

Answer 1

解：（1）解：∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，
∴g（a₄）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a₄=3，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故答案为：21．
（2）解：∵sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin=0，sin＜0，…，sin＜0，sin=0，
∴S₁=sin＞0，
S₂=sin+sin＞0，…，
S₈=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，
S₁₄=S₁₃+sin=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin=0+sin=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是86．
故答案为：86．
分析：（1）根据f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，构造函数g（x）=f（x）-2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，从而g（a₄）为g（x）与x轴的交点，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．
（2）由sin＞0，sin＞0，…，sin＞0，sin=0，sin＜0，…，sin＜0，sin=0，可得到S₁＞0，…S₁₃＞0，而S₁₄=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．
点评：题考查数列与函数的综合，数列与三角函数的综合，考查函数的对称性，考查数列的性质，考查学生分析问题解决问题的能力．