Question

已知四边形ABCD满足ADBC，，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（Ⅰ）求四棱B₁﹣AECD的体积；
（Ⅱ）证明：B₁E 面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁与面ECB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）解：取AE的中点M，连接B₁M，因为，E是BC的中点，
所以△ABE为等边三角形，所以，
又因为面B₁AE⊥面AECD，
所以B₁M⊥面AECD，
所以
（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，
因为AECD为菱形，OE=OD，
又F为B₁D的中点，所以FOB₁E，
因为FO面ACF
所以B₁E面ACF
（Ⅲ）解：连接MD，分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则
设面ECB₁的法向量，则，令x'=1，则
设面ADB₁的法向量为，则，令x=1，则
则，
所以二面角的余弦值为