Question

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥．

Answer 1

【答案】分析：（I）构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得结论；
（II）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证a₁²+a₂² ，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，则a₁²+a₂²+…+a_n²≥，但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．
解答：（I）证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂² ，
（II）证明：构造函数
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=2x²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．