Question

（2009•金山区二模）设函数f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）请先阅读下列材料，然后回答问题．
材料：已知函数g（x）=-

1

f(x)

，问函数g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．一个同学给出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，则u=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
当x=-

1

2

时，u有最大值，u_max=

1

4

，显然u没有最小值，
∴当x=-

1

2

时，g（x）有最小值4，没有最大值．
请回答：上述解答是否正确？若不正确，请给出正确的解答；
（3）设a_n=

f(n)

2n-1

，请提出此问题的一个结论，例如：求通项a_n．并给出正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，．解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）=x²+x，所以x²+x＜0．由此能求出原不等式的解．
（2）不正确．正确解答如下：令u=-f（x）=-x²-x，则u=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，当0＜u≤

1

4

时，g（x）≥4．当u＜0时，g（x）＜0．由此知g（x）既无最大值，也无最小值．
（3）命题1：求数列{a_n}的通项公式．答案1：a_n=

n2+n

2n-1

．命题2：判断数列{a_n}的单调性．答案2：

an+1

an

=

(n+1)(n+2)

2n

×

2n-1

n(n+1)

=

n+2

2n

，由此得数列{a_n}是先增后减的数列．命题3：求数列{a_n}的最大值．答案3：（前面解题过程同答案2），且a_n的极限是0，故有a_n的最大值为a₂=a₃=3．命题4：a_n对一切正整数n，均有a_n≤C恒成立，求C的最小值．答案4：因为a_n=

n2+n

2n-1

，若a_n对一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，则需C大于或等于a_n的最大值，
由此导出C的最小值为3．

解答：解：（1）因为f（x）=x²+x，所以x²+x＜0；即-1＜x＜0…（1分）
（2）不正确，…（2分）
正确解答如下：
令u=-f（x）=-x²-x，则u=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，…（3分）
当0＜u≤

1

4

时，

1

μ

≥4，即g（x）≥4…（4分）
当u＜0时，

1

μ

＜0，即g（x）＜0…（5分）
所以g（x）＜0或g（x）≥4，即g（x）既无最大值，也无最小值．…（6分）
（3）下面分层给分：
命题1：求数列{a_n}的通项公式．答案1：a_n=

n2+n

2n-1

…（各（1分），共计2分）
命题2：判断数列{a_n}的单调性．答案2：

an+1

an

=

(n+1)(n+2)

2n

×

2n-1

n(n+1)

=

n+2

2n

，
令

an+1

an

≥1得：n≤2，即有：a₁=2≤a₂=3=a₃=3≥a₄=

5

2

≥a₅=

15

8

≥…≥a_n≥…，
即数列{a_n}是先增后减的数列．…（各（3分），共计6分）

命题3：求数列{a_n}的最大值．答案3：（前面解题过程同答案2），且a_n的极限是0，故有a_n的最大值为a₂=a₃=3，…（各（5分），共计10分）
命题4：a_n对一切正整数n，均有a_n≤C恒成立，求C的最小值．
答案4：因为a_n=

n2+n

2n-1

，若a_n对一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，
则需C大于或等于a_n的最大值，
（此部分解题过程同答案3），
又对一切正整数n，均有a_n≤C恒成立，
所以C≥3，C的最小值为3…．…各（7分），共计（14分）

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意运算能力的培养．