Question

已知a＞0，函数f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=

4x2-7

2-x

，是否存在实数a≥1，使得对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，满足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间．
（2）设当x∈[0，1]时，f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，若存在实数a≥1，则必有A⊆B，分别求出A，B，列出关于a的不等式组求解．

解答：解：（1）f′（x）=3（x²-a²）=3（x-a）（x+a），
由f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a，
∴a＞0，∴x₁＞x₂，
当0＜a＜1，x∈[0，1]时，由f′（x）≥0，得a≤x≤1，所以f（x）在[a，1]上为增函数，
由f′（x）≤0，得0≤x≤a，所以f（x）在[0，a]上为减函数．
当a≥1，x∈[0，1]时，由f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上为减函数．
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[a，1]上为增函数，在[0，a]上为减函数．当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数．
（2）设当x∈[0，1]时，f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，若存在实数a≥1，则必有A⊆B，
当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数，所以f（x）max=f（0）=-2a，f（x）min=f（1）=1-3a²-2a，即A=[1-3a²-2a，-2a]，
又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，令g′（x）＞0得

1

2

＜x＜

7

2

，令g′（x）＜0得x＜

1

2

，或x＞

7

2

，
所以g（x）min=f（

1

2

）=-4，又g（0）=-

7

2

，g（1）=-3，所以g（x）max=-3，从而B=[-4，-3]，
由A⊆B得，

1-3a2-2a≥-4 -2a≤-3

，即

- 5 3 ≤a≤1 a≥ 3 2

，不等式无解，
所以不存在实数a≥1满足题意．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数最值、极值在问题中的应用，考查转化、计算、逻辑思维能力．本题（2）的关键是将问题转化为A⊆B．