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甲.如图1,平面VAD⊥平面ABCD,△VAD是等边三角形,ABCD是矩形,AB:AD=:1,F是AB的中点.
(1)求VC与平面ABCD所成的角;
(2)求二面角V-FC-B的度数;
(3)当V到平面ABCD的距离是3时,求B到平面VFC的距离.
乙、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点.
(1)证明:D1F⊥EG;
(2)证明:D1F⊥平面AEG;
(3)求
注意:考生在(19甲)、(19乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(19甲)计分.

【答案】分析:甲(1)取AD的中点G连接VG,CG,由等腰三角形三线合一及面面垂直的性质可得VG⊥平面ABCD,即∠VCG为CV与平面ABCD所成的角,解Rt△GDC及Rt△VGC可得VC与平面ABCD所成的角;
(2)连接GF,解△GFC中可得GF⊥FC,连接VF,由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC,则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角,解Rt△VFG可得二面角V-FC-B的度数;
(3)设B到平面VFC的距离为h,当V到平面ABCD的距离是3时,即VG=3.根据等体积法即VV-FCB=VB-VCF,可得B到面VCF的距离.

(1)如图2以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴,求出D1F与EG1的方向向量,根据向量的数量积为0,两个向量垂直得到D1F⊥EG.
(2)由向量,a,),根据.可得D1F⊥AE.结合(1)的结论及线面垂直的判定定理可得D1F⊥平面AEG.
(3)由,a,),=(a,a,-a),代入向量夹角公式可得
解答:
解:(1)取AD的中点G(图1),连接VG,CG.
∵△ADV为正三角形,∴VG⊥AD.
又平面VAD⊥平面ABCD.AD为交线,
∴VG⊥平面ABCD,
则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角.
设AD=a,则
在Rt△GDC中,
在Rt△VGC中,
∴∠VCG=30°.
即VC与平面ABCD成30°.
(2)连接GF,则

在△GFC中,GC2=GF2+FC2.∴GF⊥FC.
连接VF,由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC,则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角.
在Rt△VFG中,
∴∠VFG=45°. 二面角V-FC-B的度数为135°.
(3)设B到平面VFC的距离为h,当V到平面ABCD的距离是3时,即VG=3.
此时

∵VV-FCB=VB-VCF


即B到面VCF的距离为

解:如图2以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体AC1棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),E(a,a,),F(a,,0),G(,a,0).
(1),-a),,0,

∴D1F⊥EG.
(2),a,),

∴D1F⊥AE.
∵EG∩AE=E,∴D1F⊥平面AEG.
(3)由,a,),=(a,a,-a),
=
点评:题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算,是立体几何的一个综合考查,难度稍大.
练习册系列答案
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如图1,平面四边形ABCD中,A=
π
3
C=
π
2
,CB=CD=2,且AB=AD
.把△ABD沿BD折起(如图2),使二面角A-BD-C的余弦值等于
3
3
对于图二,完成以下各小题:
(1)求AC的长;
(2)证明:AC⊥平面BCD;
(3)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

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如图1,平面四边形ABCD关于直线AC对称,∠A=60°,∠C=90°,CD=2.把△ABD沿BD折起(如图2),使二面角A-BD-C的余弦值等于
3
3
.对于图2:
(Ⅰ)求AC;
(Ⅱ)证明:AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

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2
:1,F是AB的中点.
(1)求VC与平面ABCD所成的角;
(2)求二面角V-FC-B的度数;
(3)当V到平面ABCD的距离是3时,求B到平面VFC的距离.
乙、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点.
(1)证明:D1F⊥EG;
(2)证明:D1F⊥平面AEG;
(3)求cos<
AE
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(Ⅰ)求AC;
(Ⅱ)证明:AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

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