Question

甲．如图1，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB：AD=

2

：1，F是AB的中点．
（1）求VC与平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度数；
（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．
乙、如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是B₁B、AB、BC的中点．
（1）证明：D₁F⊥EG；
（2）证明：D₁F⊥平面AEG；
（3）求cos＜

AE

，

D1B

＞．
注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．

Answer 1

分析：甲（1）取AD的中点G连接VG，CG，由等腰三角形三线合一及面面垂直的性质可得VG⊥平面ABCD，即∠VCG为CV与平面ABCD所成的角，解Rt△GDC及Rt△VGC可得VC与平面ABCD所成的角；
（2）连接GF，解△GFC中可得GF⊥FC，连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角，解Rt△VFG可得二面角V-FC-B的度数；
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG=3．根据等体积法即V_V-FCB=V_B-VCF，可得B到面VCF的距离．
乙
（1）如图2以D为原点，DA、DC、DD₁所在的直线分别为x、y、z轴，求出D₁F与EG1的方向向量，根据向量的数量积为0，两个向量垂直得到D₁F⊥EG．
（2）由向量

AE

=(0，a，

a

2

），根据

D1F

•

AE

=a×0+

a

2

×a-a×

a

2

=0．可得D₁F⊥AE．结合（1）的结论及线面垂直的判定定理可得D₁F⊥平面AEG．
（3）由

AE

=(0，a，

a

2

），

D1B

=（a，a，-a），代入向量夹角公式可得cos＜

AE

，

D1B

＞

解答：甲
解：（1）取AD的中点G（图1），连接VG，CG．
∵△ADV为正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，
∴VG⊥平面ABCD，
则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．
设AD=a，则VG=

3

2

a，DC=

2

a．
在Rt△GDC中，GC=

DC2+GD2

=

2a2+ a2 4

=

3

2

a．
在Rt△VGC中，tan∠VCG=

VG

GC

=

3

3

．
∴∠VCG=30°．
即VC与平面ABCD成30°．
（2）连接GF，则GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．
而　FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．∴GF⊥FC．
连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，VG=GF=

3

2

a．
∴∠VFG=45°．　二面角V-FC-B的度数为135°．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG=3．
此时AD=BC=2

3

，FB=

6

，FC=3

2

，VF=3

2

．
∴S△VFC=

1

2

VF•FC=9，S△BFC=

1

2

FB•BC=3

2

．
∵V_V-FCB=V_B-VCF，
∴

1

3

•VG•S△FBC=

1

3

•h•S△VFC．
∴

1

3

×3×3

2

=

1

3

•h•9．
∴h=

2

即B到面VCF的距离为

2

．
乙
解：如图2以D为原点，DA、DC、DD₁所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体AC₁棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），E（a，a，

a

2

），F（a，

a

2

，0），G（

a

2

，a，0）．
（1）

D1F

=(a，

a

2

，-a），

EG

=(-

a

2

，0，-

a

2

)，
∵

D1F

•

EG

=a(-

a

2

)+

a

2

×0+(-a)(-

a

2

)=0，
∴D₁F⊥EG．
（2）

AE

=(0，a，

a

2

），
∴

D1F

•

AE

=a×0+

a

2

×a-a×

a

2

=0．
∴D₁F⊥AE．
∵EG∩AE=E，∴D₁F⊥平面AEG．
（3）由

AE

=(0，a，

a

2

），

D1B

=（a，a，-a），
∴cos＜

AE

，

D1B

＞=

AE • D1B

| AE |•| D1B |

=

a2- 1 2 a2

0+a2+ a2 4 • a2+a2+(-a)2

=

5

15

．

点评：题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，是立体几何的一个综合考查，难度稍大．