Question

设对于任意的实数x，y，函数，满足， 且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+
2y，g（5）=13，n∈N*。
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和S_n；
（Ⅲ）设F（n）=S_n-3n，存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m<F（n）<M恒成立，求M-m的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取x=n，得，
取x=0，得，
故数列是首项是1，公比为的等比数列，所以f（n）=（） ^n-1。
取x=n，y=1得，即，
故数列是公差为2的等差数列，
又，
所以。
（Ⅱ），
∴，
，
两式相减，得，
∴。
（Ⅲ），
∴，
所以F（n）是增函数，那么F（n）_min=F（1）=1，  
由于，则，
由于，则，
所以，
因此当m<1且时，恒成立，
所以存在正数m=0，-1，-2，…，M=3，4，5…
使得对任意的正整数n，不等式恒成立，此时（M-m）_min=3。