Question

设对于任意的实数x，y，函数f（x，）g（x）满足，且f（0）=2，g（x+y）=g（x）+2y，g（3）=5，a_n=f（n），b_n=g（n），n?N^*． （Ⅰ）求数列a_n，b_n的通项公式b_n的通项公式
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列c_n的n和S_n的前n和S_n

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求{a_n}，{b_n}的通项，从f（x+1）=中构造a_n+1与a_n的关系，b_n的通项公式，从f（x+1）=f（x）中构造a_n+1与a_n的关系，从g（x+y）-g（x）=2y，构造b_n+1-b_n=2，分别利用等差数列及等比数列的通项公式求a_n，b_n；
（Ⅱ）c_n=a_nb_n是等差数列与等比数列的积，用乘公比错位相减求和．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴，
∵a_n=f（n），a_n+1=f（n+1），

所以{a_n}，以为公比，以1为首项的等比数列
∴
∵g（x+y）=g（x）+2y，∴g（x+1）-g（x）=2
b_n=g（n），∴b_n+1-b_n=g（n+1）-g（n）=2
∵b₃=g（3）=5，∴b₁=1
数列{b_n}以1为首项，以2为公差的等差数列
b_n=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）
S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

∴
点评：本题主要考查等差、等比数列递推关系的基本方法，同时考查构造法及推理论证的能力，而乘公比错位相减求和是数列求和的一个难点与易错点．