Question

已知抛物线方程x²=4y，过点（t，-4）作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．
（I）求证直线AB过定点（0，4）；
（II）求△OAB（O为坐标原点）面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出切点A，B的坐标，对抛物线方程求导，求得切线方程的斜率，则直线方程可得，把点（t，-4）代入直线方程联立求得AB的直线方程，根据其方程推断出直线过定点（0，4）
（Ⅱ）把（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂，进而利用三角形面积公式求得面积的表达式，根据t的范围求得面积的最小值．
解答：解：（Ⅰ）设切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又y'=x，
则切线PA的方程为：y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x-y₁，
切线PB的方程为：y-y₂=（x-x₂）即y=x-y₂，
由（t，-4）是PA、PB交点可知：-4=x₁t-y₁，-4=x₂t-y₂，，
∴过A、B的直线方程为-4=tx-y，
即tx-y+4=0，所以直线AB：tx-y+4=0过定点（0，4）．

（Ⅱ）由，得x²-2tx-16=0．
则x₁+x₂=2t，x₁x₂=-16，
因为S_△OAB=×4×|x₁-x₂|=2=2≥16，当且仅当t=0时，S_最小=16．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和基本的运算能力．