Question

若直线3x+4y+m=0与圆  

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）至少有一个公共点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：把圆的参数方程化为普通方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆至少有一个公共点，可知圆心到直线的距离d小于等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出d，即可列出关于m的绝对值不等式，分m+3大于等于0和小于0两种情况，分别根据绝对值的代数意义化简，即可求出m的取值范围．

解答：解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x-1）²+y²=1，
所以圆心坐标为（1，0），半径r=1，
∵已知直线与圆至少有一个公共点，
∴圆心到直线的距离d=

|3+m|

5

≤r=1，
化简得：|m+3|≤5，
当m+3≥0，即m≥-3时，不等式化为：m+3≤5，解得m≤2，
不等式的解集为：[-3，2]；
当m+3＜0，即m＜-3时，不等式化为：-m-3≤5，解得m≥-8，
不等式的解集为：[-8，-3），
综上，实数m的取值范围是：[-8，2]．
故答案为：[-8，2]

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及绝对值不等式的解法；直线与圆的位置关系判断方法是：（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径），当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆位置关系为相切；当d＞r时，直线与圆位置关系是相离．