Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，减区间为（2）

【解析】

（1）根据函数的单调性与导数的关系，分别在定义域内解不等式和，即可求出函数的单调增区间和减区间；

（2）根据题意可知，只需即可，再通过导数研究函数在的单调性，求出，由即可解出实数的取值范围．

（1）函数的定义域为，

当时，函数

对函数求导得，

所以， 由，解得；由，解得．

故函数的单调增区间为，减区间为．

（2）对函数求导得，.

再次求导得

当时，又，，

故在上，，所以在上单调递增，

故，符合题意；

当时，又，则，故在上单调递减，

故，不符合题意，舍去；

③当时，令，则当时，

有在上单调递减，

故，不符合题意，舍去.

综上所述，实数的取值范围为．