Question

【题目】已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．

（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；

（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．

Answer 1

【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）实数a的最小整数值为-1

【解析】

（1）首先写出f（x）的定义域，函数f（x）恰有1个零点方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得，设g（x），然后求导，找出g（x）的最值，结合图象求出m的范围；

（2）mx-ex≤f（x）+alnx-ex≤a-1．设h（x）=lnx-ex，求导判断h（x）的单调区间，利用单调性求出a的最值即可．

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），

函数f（x）恰有1个零点方程f（x）=0仅有一个正实数解，

由f（x）=0，得，

设g（x），则，

令g′（x）＞0．得0＜x＜1，

令g′（x）＜0，得x＞1，

∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

∴g（x）在x=1处取得唯一的极大值，即为最大值，

故g（x）的最大值为g（1）=1．

当x趋近于0时，lnx+1趋近于-∞，

所以g（x）为负数，

当x趋近于+∞时，x的增长速度大于lnx+1的增长速度，

且当x＞1时，

故g（x）趋近于0，

由图可知，当m≤0或者m=1时，方程m=g（x）仅有一个实数解，

∴m的取值范围为{m|m≤0或m=1}；

（2）∵mx-ex≤f（x）+a，

∴lnx-ex≤a-1，

设h（x）=lnx-ex，

∴

又∵在（0，+∞）上为减函数，h′（1）=1-e＜0，，

∴存在唯一的零点，

此时h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，/p>

且=0，

∴，x0=-lnx0，

由单调性知=-（x0+），

又，故，

∴mx-ex≤f（x）+a对任意正数x恒成立时，a-1≥-2，

∴a≥-1，

∴实数a的最小整数值为-1．