Question

5．设平面向量的集合M={$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，…$\overrightarrow{{a}_{n}}$}（n＞2）满足：M中任一向量的模不小于其余向量和的模，则|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=0．

Answer 1

分析 由已知得2（|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|+…+|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|）≥n|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，再由n＞2，结合向量的模的性质可得$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$，进而得到所求和的模．

解答 解：由已知得|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
可得2|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
同理可得2|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
…
2|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
∴2（|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|+…+|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|）≥n|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
$\frac{2}{n}$（|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|+…+|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|）≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
由于n＞2可得$\frac{2}{n}$＜1，
且|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|+…+|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|≥|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{n}}$|，
可得$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{0}$，
则|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{3}}$+…$\overrightarrow{{a}_{n}}$|=0．
故答案为：0．

点评 本题考查向量和的模的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件n＞2的合理运用．