Question

已知{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x∈R⁺|（x-6）sin

π

2

x=1}，则x₁+x₂+x₃+x₄的最小值为（　　）

Answer 1

分析：将“（x-6）•sin

π

2

x=1”两边同除以“x-6”，再分别判断两端函数的对称中心，得到函数f（x）=sin

π

2

x-

1

x-6

的对称中心，再由对称性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答：解：由（x-6）•sin

π

2

x=1得，sin

π

2

x=

1

x-6

，则x＞0且x≠6，
∵y=sin

π

2

x是以4为周期的奇函数，
∴y=sin

π

2

x的对称中心是（2k，0），k∈z，
∵y=

1

x-6

的图象是由奇函数y=

1

x

向右平移6个单位得到，
∴y=

1

x-6

的对称中心是（6，0），
∴函数f（x）=sin

π

2

x-

1

x-6

的对称中心是（6，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-6）•sin

π

2

x=1，x＞0}，
∴当x＞0时，最小值x₁和x₃、x₂和x₄关于（6，0）对称，即x₁+x₃=12，x₂+x₄=12，
则x₁+x₂+x₃+x₄=24，
故选B．

点评：本题主要考查了利用函数的对称性求出方程根之和的最值问题，关键是利用基本初等函数的对称性进行判断，相应复合函数的对称性，难度较大．