Question

(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．

( I)求点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，

，

整理得轨迹的方程为（且）.·············· 4分

（Ⅱ）方法一、

设，

由可知直线，则，

故，即，········ 6分

由三点共线可知，

与共线，

∴　，

由（Ⅰ）知，故，········· 8分

同理，由与共线，

∴　，

即，

由（Ⅰ）知，故，············ 10分

将，代入上式得，

整理得，

由得， ························· 12分

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为． ············· 14分

方法二、设

由可知直线，则，

故，即，···················· 6分

∴直线OP方程为：   ①；····················· 8分

直线QA的斜率为：，

∴直线QA方程为：，即  ②；··· 10分

联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．············ 12分

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为．············· 14分

 

【解析】略