Question

设S_n是数列{a_n}的前n项的和，且S_n=2a_n+n²-8．
（Ⅰ）证明数列{a_n-2n-3}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足bn=

1

an-2n-2

，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用递推公式a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-8-2a_n-n²+8，可得a_n+1=2a_n-2n-1，变形可得a_n+1-2（n+1）-3=2（a_n-2n-3），（n∈N*）可得数列{a_n-2n-3}是等比数列，从而可求数列的通项公式；
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）可得bn=

1

2n+1

＜

1

2n

，利用等比数列的和公式及对数列的放缩可证．

解答：解：（Ⅰ）由题设，a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-8-2a_n-n²+8，
∴a_n+1=2a_n-2n-1，∴a_n+1-2（n+1）-3=2（a_n-2n-3），（n∈N*）
由题设∵a₁=2a₁+1²-8，∴a₁=7，∴a₁-2×1-3=2，
∴数列{a_n-2n-3}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n-2n-3=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+2n+3．
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）得bn=

1

2n+1

，∴bn＜

1

2n

∴b1+b2+…+bn＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1

点评：利用递推公式a_n=S_n-S_n-1求数列的通项公式时一定要注意检验n=1时的值是否适合通项，放缩法证明不等式时要注意放缩要合理．