Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项(整数k≥2),首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=(a-1)S_n+2(n=1,2,…,2k-1)，其中常数a＞1.

(1)求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)若a=，数列{b_n}满足b_n=log₂(a₁a₂…a_n)(n=1,2,…,2k)，求数列{b_n}的通项公式；

(3)若(2)中的数列{b_n}满足不等式.

|b₁-|+|b₂-|+…+|b_2k-1-|+|b_2k-|≤4，求k的值.

Answer 1

解：(1)a_n+1=(a-1)S_n+2,                               ①

当n≥2时,a_n=(a-1)S_n-1+2,                             ②

    两式相减得

a_n+1-a_n=(a-1)(S_n-S_n-1)=(a-1)a_n，∴a_n+1=aa_n.

∴=a为常数.

∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，以a为公比的等比数列.

(2)由(1)知a_n=2·a^n-1，

∴b_n=log₂(2·2a·2a²·…·2a^n-1)

=log₂(2ⁿ·a^{1+2+…+(n-1)})

=(n+)=1+··log₂a

=1+·=1+.

(3)|b_n-|=|-|=||，

∴|b₁-|+|b₂-|+…+|b_2k-1-|+|b_2k-|

=||+||+…+||+||

=2［++…++］

==.

    令≤4，即k²-8k+4≤0,

∴4-2≤k≤4+2.

    又∵k≥2，k∈Z，

∴k的值为2,3,4,5,6,7.