Question

【题目】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与

轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，求：

(1)打满3局比赛还未停止的概率；

(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．

(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝.

(2)ξ的所有可能值有2，3，4，5，6，且

P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，

P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝，

P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝，

P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝，

P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝.

故ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P

从而E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.