Question

2．函数f（x）具有如下性质：对每个实数x，都有f（x）+f（x-1）=x²．如果f（19）=94，那么f（94）除以1000的余数是多少？

Answer 1

分析 对每个实数x，都有f（x）+f（x-1）=x²．kd f（n）+f（n-1）=n²，f（n+1）+f（n）=（n+1）²，于是f（n+1）-f（n-1）=2n+1，利用“累加求和”可得：f（93）-f（19）=4181，再利用f（94）+f（93）=94²，即可得出．

解答 解：∵对每个实数x，都有f（x）+f（x-1）=x²．
∴f（n）+f（n-1）=n²，
f（n+1）+f（n）=（n+1）²，
∴f（n+1）-f（n-1）=2n+1，
∴f（21）-f（19）=2×20+1，
f（23）-f（21）=2×22+1，
…，
f（93）-f（91）=2×92+1，
∴f（93）-f（19）=2×$\frac{37×（20+92）}{2}$+37=4181，
∴f（93）=94+4181=4275，
∵f（94）+f（93）=94²，
∴f（94）=94²-4275=4561．
∴f（94）除以1000的余数是561．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、整除运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．