Question

12．在等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-18，其前n项和为S_n．
（1）求S_n的最小值；
（2）求出S_n取最小值时n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知数据可得等差数列{a_n}的公差d，进而可得a₁，可得S_n，由二次函数可得；
（2）由（1）的求解过程可得．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-18，
∴a₁₆+a₁₇+a₁₈=3a₁₇=-18，∴a₁₇=-6，
∴公差d=$\frac{{a}_{17}-{a}_{9}}{17-9}$=$\frac{-6-（-18）}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴a₉=a₁+8d=a₁+8×$\frac{3}{2}$=-18，解得a₁=-30，
∴S_n=-30n+$\frac{n（n-1）}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$（3n²-123n），
由二次函数可知当n=$-\frac{-123}{2×3}$=20$\frac{1}{2}$时取最小值，
结合n为正整数和二次函数的对称性可知当n=20或21时，S_n取最小值，
代值计算可得S₂₁=S₂₀=$\frac{1}{4}$（3×20²-123×20）=-315；
（2）由（1）知当S_n取最小值时n的值为20或21．

点评 本题考查等差数列的求和公式和二次函数的最值，属中档题．