Question

20．设函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f²（x+1）+f²（x）=9．已知f（$\frac{1}{2}$）=2，则f（$\frac{2015}{2}$）=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据条件f²（x+1）+f²（x）=9得到函数f（x+2）=f（x），即函数的周期是2，利用函数的周期性进行求解即可．

解答 解：∵f²（x+1）+f²（x）=9，即 f²（x+1）=9-f²（x），
∴f²（x+2）=9-f²（x+1），化简可得 f²（x+2）=9-[9-f²（x）]=f²（x）．
再由 函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0，
可得 f（x+2）=f（x），
故函数是周期为2的周期函数．
则f（$\frac{2015}{2}$）=f（$\frac{2015}{2}$）=f（1007+$\frac{1}{2}$）=f（1006+1+$\frac{1}{2}$）=f（1+$\frac{1}{2}$），
∵f²（x+1）+f²（x）=9．f（$\frac{1}{2}$）=2，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，f²（$\frac{1}{2}$+1）=9-f²（$\frac{1}{2}$）=9-4=5，
即f（1+$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
即f（$\frac{2015}{2}$）=f（1+$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系求出函数的周期性是解决本题的关键．