Question

11．数列$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{{5}^{2}}$，$\frac{3}{{5}^{3}}$，$\frac{1}{{5}^{4}}$，$\frac{2}{{5}^{5}}$，$\frac{3}{{5}^{6}}$，…的前3n项之和为$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{12{5}^{n}}$）．

Answer 1

分析 根据已知条件，利用分组求和法得到数列$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{{5}^{2}}$，$\frac{3}{{5}^{3}}$，$\frac{1}{{5}^{4}}$，$\frac{2}{{5}^{5}}$，$\frac{3}{{5}^{6}}$，…的前3n项之和为（$\frac{1}{5}+\frac{1}{{5}^{4}}+…+\frac{1}{{5}^{3n-2}}$）+2（$\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{5}^{5}}+…+\frac{1}{{5}^{3n-1}}$）+3（$\frac{1}{{5}^{3}}+\frac{1}{{5}^{6}}+…+\frac{1}{{5}^{3n}}$），由此利用等比数列的前n项和公式能求出结果．

解答 解：$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{{5}^{2}}$，$\frac{3}{{5}^{3}}$，$\frac{1}{{5}^{4}}$，$\frac{2}{{5}^{5}}$，$\frac{3}{{5}^{6}}$，…的前3n项之和：
S=$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{{5}^{2}}$+$\frac{3}{{5}^{3}}$+$\frac{1}{{5}^{4}}$+$\frac{2}{{5}^{5}}$+$\frac{3}{{5}^{6}}$+…+$\frac{1}{{5}^{3n-2}}$+$\frac{2}{{5}^{3n-1}}$+$\frac{3}{{5}^{3n}}$
=（$\frac{1}{5}+\frac{1}{{5}^{4}}+…+\frac{1}{{5}^{3n-2}}$）+2（$\frac{1}{{5}^{2}}+\frac{1}{{5}^{5}}+…+\frac{1}{{5}^{3n-1}}$）+3（$\frac{1}{{5}^{3}}+\frac{1}{{5}^{6}}+…+\frac{1}{{5}^{3n}}$）
=$\frac{\frac{1}{5}（1-\frac{1}{12{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{125}}$+$\frac{\frac{2}{25}（1-\frac{1}{12{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{125}}$+$\frac{\frac{3}{125}（1-\frac{1}{12{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{125}}$
=（$\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}$）×$\frac{1-\frac{1}{12{5}^{n}}}{\frac{124}{125}}$
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{12{5}^{n}}$）．
故答案为：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{12{5}^{n}}$）．

点评 本题考查数列的前3n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等比数列的性质的合理运用．