我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1,再把一个首项为1.公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内,然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和的规则填写其它空格．第1列第2列第3列-第n列第1行111-1第2行q第3行q2--第n行qn-1(1)设第2行的数依次为B1.B2.-.Bn.试用n.q表示B1+B2+-+Bn的值,(2)设第3列的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（1）设第2行的数依次为B₁，B₂，…，B_n，试用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

【答案】分析：（1）根据题意分别求出B₁、B₂，利用归纳法求出B_n，再由分组求和法求出和式的值；
（2）根据题意分别求出c₁，c₂，c₃，再进行作差：c₁+c₃-2c₂，化简后判断出符号，即得证；
（3）①先设c₁，c₂，c₃成等比数列求出公比q，再去检验

是否为q，求出m和q；
②设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．
解答：解：（1）由题意得，B₁=q，B₂=1+q，
B₃=1+（1+q）=2+q，…，B_n=（n-1）+q，
∴B₁+B₂+…+B_n=1+2+…+（n-1）+nq=

．
（2）由题意得，c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，

，
由

，
即 c₁+c₃＞2c₂．
（3）①先设c₁，c₂，c₃成等比数列，由

得，
3+2q+q²=（2+q）²，

．
此时 c₁=1，

，
∴c₁，c₂，c₃是一个公比为

的等比数列．
如果m≥4，c₁，c₂，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列．
由上所述，此时

，

，
由于

，因此，对于任意m≥4，c₁，c₂，…，c_m一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且

时，数列c₁，c₂，…，c_m是等比数列．
②设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则

，
若第k+1列的前三项x₁，x₂，x₃是等比数列，则
由

，得

，

，
同理，若第m+1列的前三项y₁，y₂，y₃是等比数列，则

．
当k≠m时，

．
所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．
点评：本题考查了等比和等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．

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	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q²
…	…
第n行	q^n-1

（Ⅰ）设第2行的数依次为b₁，b₂，b₃，…，b_n，试用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，总有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m为偶数）；
（Ⅲ）能否找到一个实数q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由．

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（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．