Question

（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）设第2行的数依次为B₁，B₂，…，B_n，试用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意分别求出B₁、B₂，利用归纳法求出B_n，再由分组求和法求出和式的值；
（2）根据题意分别求出c₁，c₂，c₃，再进行作差：c₁+c₃-2c₂，化简后判断出符号，即得证；
（3）①先设c₁，c₂，c₃成等比数列求出公比q，再去检验

c4

c3

是否为q，求出m和q；
②设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．

解答：解：（1）由题意得，B₁=q，B₂=1+q，
B₃=1+（1+q）=2+q，…，B_n=（n-1）+q，
∴B₁+B₂+…+B_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq．
（2）由题意得，c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，
c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2，
由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2＞0，
即 c₁+c₃＞2c₂．  
（3）①先设c₁，c₂，c₃成等比数列，由c1c3=

c

2 2

得，
 3+2q+q²=（2+q）²，q=-

1

2

．
此时 c₁=1，c2=

3

2

，c3=

9

4

，
∴c₁，c₂，c₃是一个公比为

3

2

的等比数列． 
如果m≥4，c₁，c₂，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列．
由上所述，此时q=-

1

2

，c1=1，c2=

3

2

，c3=

9

4

，c4=

23

8

，
由于

c4

c3

≠

3

2

，因此，对于任意m≥4，c₁，c₂，…，c_m一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且q=-

1

2

时，数列c₁，c₂，…，c_m是等比数列．
②设x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x1=1，x2=k+q，x3=(1+2+3+…+k)+kq+q2=

k(k+1)

2

+kq+q2，
若第k+1列的前三项x₁，x₂，x₃是等比数列，则
由x1x3=

x

2 2

，得

k(k+1)

2

+kq+q2=(k+q)2，

k2-k

2

+kq=0，q=

1-k

2

，
同理，若第m+1列的前三项y₁，y₂，y₃是等比数列，则q=

1-m

2

．
当k≠m时，

1-k

2

≠

1-m

2

．
所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．

点评：本题考查了等比和等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．