Question

若不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0对任意实数x恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-1，+∞）
• B、[-1，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：令m=sin²x（0≤m≤1），则有不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0对任意实数x恒成立，即为m²-tm-2＜0对0≤m≤1恒成立，讨论m=0，0＜m≤1时，运用参数分离，得t＞m-

2

m

，运用单调性，只要求出右边的最大值即可．

解答：解：令m=sin²x（0≤m≤1），
则有不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0对任意实数x恒成立，
即为m²-tm-2＜0对0≤m≤1恒成立，
当m=0时，显然成立；
当0＜m≤1时，不等式即为t＞m-

2

m

，
由于m-

2

m

在（0，1]递增，当m=1时，取得最大值1-2=-1，
则t＞-1．
则有实数t的取值范围是（-1，+∞）．
故选A．

点评：本题考查不等式的恒成立问题，注意运用换元法，考虑正弦函数的值域，考查函数的最值求法：运用单调性，考查运算能力，属于中档题．