Question

（2008•宁波模拟）在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，数列{a_n+1-a_n}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

（3）求证：当n∈N+时，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜1．

Answer 1

分析：（1）a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，由两式相减能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

=

1

2k+1

+

1

2k+1-1

，通分之后能够得到

3•2k

22k+1+2k-1

＜

3

2k+1

．
（3）把

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

等价转化为(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2n-1

+

1

a2n

)，由（2）知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

＜

3

2 2

+

3

2 4

+…+

3

2 2n

，由此利用等比数列的求和公式能够证明：当n∈N+时，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜1．

解答：（1）解：在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，
∵数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，
∴a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，①
∵数列{a_n+1-2a_n}是公比为-1的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，②
①-②得3a_n=3•2ⁿ+3•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ+（-1）^n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

=

1

2k+1

+

1

2k+1-1

=

3•2k

22k+1+2k-1

＜

3

2k+1

，
∴当k为正奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

…（8分）
（3）证明：当n∈N^*时，
∵

1

ak

+

1

ak+1

＜

3

2k+1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

=(

1

a1

+

1

a2

)+(

1

a3

+

1

a4

)+…+(

1

a2n-1

+

1

a2n

)
＜

3

2 2

+

3

2 4

+…+

3

2 2n

=3×

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

4n

＜1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．