Question

17.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2）、A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）均在抛物线上.

（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率.

Answer 1

17.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.

解：（Ⅰ）由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px.

∵点P（1,2）在抛物线上,

∴2²=2p·1,得p=2.

故所求抛物线的方程是y²=4x,

准线方程是x=－1.

　（Ⅱ）设直线PA的斜率为k_PA,直线PB的斜率为k_PB，

则k_PA=（x₁≠1）,k_PB=（x₂≠1）.

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，

∴k_PA=－k_PB.

由A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）在抛物线上，得

y₁²=4x₁,                                                           ①

y₂²=4x₂,                                                           ②

∴=－.

∴y₁+2=－（y₂+2）.

∴y₁+y₂=－4.

由①－②得直线AB的斜率

k_AB===－=－1（x₁≠x₂）.