Question

如图，已知F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=

1

2

，F₁也是抛物线C₁：y2=-4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₂的直线l交椭圆C于D，E两点，且2

DF2

=

F2E

，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意得抛物线C₁的焦点坐标，从而列出关于a，c的等式解之即得a，c，再根据a，b，c的关系求出b值，最后写出椭圆C的方程；
（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意，故可设直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C₁的焦点是F₁（-1，0），
则

c=1 c a = 1 2

，得a=2，则b=

3

，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意，
故可设直线l：y=k（x-1），设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2

DF2

=

F2E

，则：

2(1-x1)=x2-1 -2y1=y2

，得（

1

4

+

k2

3

）x²-

2

3

k²x+

k2

3

-1=0，
则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，②
将x₂=3-2x₁代入①②，得：
3-x₁=

8k2

3+4k2

，…③3x₁-2x

2 1

=

4k2-12

3+4k2

，…④
由③、④得k=±

5

2

，
x₁=

4k2+9

3+4k2

=

7

4

，x₂=3-2x₁=-

1

2

，…（10分）
（i）若k=-

5

2

时，y₁=-

3 5

8

，
y₂=-

5

2

（-

1

2

-1）=

3 5

4

，
即G（-

1

2

，-

3 5

4

），D（

7

4

，-

3 5

8

），kGD=

- 3 5 8 + 3 5 4

7 4 + 1 2

=

5

6

，
直线GD的方程是y+

3 5

4

=

5

6

（x+

1

2

）；
（ii）当k=

5

2

时，同理可求直线GD的方程是
y-

3 5

4

=-

5

6

（x+

1

2

）；…（12分）

点评：本题考查椭圆方程和求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质及向量公式的灵活运用，注意合理地进行等介转化．