Question

已知a，b为实数，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明a^b＞b^a．

Answer 1

分析：先对a^b＞b^a两边取对数整理成

lna

a

＞

lnb

b

，令y=

lnx

x

，转化为求函数y=

lnx

x

的单调性问题．

解答：证：当e＜a＜b时，要证a^b＞b^a，只要证blna＞alnb，
即只要证

lna

a

＞

lnb

b

考虑函数y=

lnx

x

(0＜x＜+∞)
因为但x＞e时，y′=

1-lnx

x2

＜0，
所以函数y=

lnx

x

在(e，+∞)内是减函数
因为e＜a＜b，所以

lna

a

＞

lnb

b

，即得a^b＞b^a

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明．函数的单调性的判断和证明可与导数的正负情况联系起来，当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．