Question

已知函数f（x）=|x²-1|，g（x）=k|x-1|．
（Ⅰ）已知0＜m＜n，若f（m）=f（n），求m²+n²的值；
（Ⅱ）设F（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，当k=

1

2

时，求F（x）在（-∞，0）上的最小值；
（Ⅲ）求函数G（x）=f（x）+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）化为分段函数，利用分段函数的图象，可知0≤m＜1＜n≤

2

，再根据f（m）=f（n），可以得到m与n的关系，即可得m²+n²的值；
（Ⅱ）根据f（x）和g（x）的函数解析式，分类表示出F（x）的解析式，写成分段函数，再根据分段函数的解析式，即可求出F（x）在（-∞，0）上的最小值；
（Ⅲ）根据f（x）和g（x）的函数解析式，求出G（x）的解析式，再分别针对每一段上的解析式分别求解最值，在对每一段中的最值进行分类比较，确定其中的最大值，即可求得函数G（x）=f（x）+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=|x²-1|，
∴f（x）=

1-x2，-1＜x＜1 x2-1，x≤-1或x≥1

，
作出f（x）的图象，由f（x）的图象可知，0≤m＜1＜n≤

2

，
∵f（m）=f（n），
∴1-m²=n²-1，
∴m²+n²=2；
（Ⅱ）∵x＜0，
∴f（x）=

x2-1，x≤-1 1-x2，-1＜x＜0

，
∵k=

1

2

，
∴g（x）=

1

2

-

1

2

x，x∈（-∞，0），
当x≤-1时，f（x）≥g（x），即为x²-1≥

1

2

-

1

2

x，解得x≤-

3

2

，
当-1＜x＜0时，f（x）≥g（x），即为1-x²≥

1

2

-

1

2

x，解得-

1

2

≤x＜0，
∴F（x）=

x2-1，x≤- 3 2 1 2 - 1 2 x，- 3 2 ＜x＜- 1 2 1-x2，- 1 2 ≤x＜0

，
①当x≤-

3

2

时，F（x）=x²-1，
∵F（x）在（-∞，-

3

2

]上单调递减，
∴F（x）的最小值为F（-

3

2

）=

5

4

；
②当-

3

2

＜x＜-

1

2

时，F（x）=

1

2

-

1

2

x，
∵F（x）在（-

3

2

，-

1

2

）上单调递减，
∴F（x）＜F（-

1

2

），
∴F（x）＜

3

4

；
③当-

1

2

≤x＜0时，F（x）=1-x²，
∵F（x）在（-

1

2

，0）上单调递增，
∴F（x）的最小值为F（-

1

2

）=

3

4

．
综合①②③可得，当x=-

1

2

时，F（x）的最小值为

3

4

；
∴当k=

1

2

时，F（x）在（-∞，0）上的最小值为

3

4

；
（Ⅲ）∵G（x）=f（x）+g（x），且f（x）=|x²-1|，g（x）=k|x-1|，
∴G（x）═

x2+kx-k-1，x≥1 -x2-kx+k+1，-1≤x＜1 x2-kx+k-1，x＜-1

，
①记G₁（x）=x²+kx-k-1，x∈[1，2]，
对称轴为x=-

k

2

，根据对称轴与区间的位置关系可得，
当-

k

2

≤

3

2

，即k≥-3时，G₁（x）_max=G₁（2）=k+3，
当-

k

2

＞

3

2

，即k＜-3时，G₁（x）_max=G₁（1）=0，
②记G₂（x）=-x²-kx+k+1，x∈[-1，1]，
对称轴为x=-

k

2

，根据对称轴与区间的位置关系可得，
当-

k

2

≤-1，即k≥2时，G₂（x）_max=G₂（-1）=2k，
当-1＜-

k

2

＜1，即-2＜k＜2时，G₂（x）_max=G₂（-

k

2

）=(

k

2

+1)2，
当-

k

2

≥1，即k≤-2时，G₂（x）_max=G₂（1）=0，
③记G（x）=x²-kx+k-1，x∈[-2，-1]，
对称轴为x=

k

2

，根据对称轴与区间的位置关系可得，
当

k

2

≥-

3

2

，即k≥-3时，G₃（x）_max=G₃（-2）=3k+3，
当

k

2

＜-

3

2

，即k＜-时，G₃（x）_max=G₃（-1）=2k，
由上讨论可知，
当k＜-3时，G（x）_max=max{0，2k}=0，
当-3≤k≤-2时，G（x）_max=max{k+3，0，3k+3}=k+3，
当-2＜k＜0时，G（x）_max=max{k+3，(

k

2

+1)2，3k+3}=k+3，
当0≤k＜2时，G（x）_max=max{k+3，(

k

2

+1)2，3k+3}=3k+3，
当k≥2时，G（x）_max=max{k+3，2k，3k+3}=3k+3，
综上所述：当k＜-3时，G（x）在[-2，2]上的最大值为0，
当-3≤k＜0时，G（x）在[-2，2]上的最大值为k+3，
当k≥0时，G（x）在[-2，2]上的最大值为3k+3．

点评：本题考查了分段函数的图象，分段函数的最值．对于含有绝对值的函数，通常转化为分段函数来解答，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．本题综合应用了分类讨论和数形结合的数学思想方法．属于中档题．