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已知经过点A(-2,0),且以(λ,1+λ)为方向向量的直线l1与经过点B(2,0),且以(1+λ,-3λ)为方向向量的直线l2相交于点P,其中λ∈R.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l:y=kx+m(m≠0)与轨迹C相交于不同的两点M、N,且满足|BM|=|BN|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)当λ≠0且λ≠-1时,直线l1y=
1+λ
λ
(x+2)
,直线l2:y=
-3λ
1+λ
(x-2)

消参可得
x2
4
+
y2
12
=1

当λ=0时,直线l1:x=-2,直线l2:y=0,其交点为(-2,0),适合①;
当λ=-1时,直线l1:y=0,直线l2:x=2,其交点为(2,0),适合①;
∴点P的轨迹C的方程为
x2
4
+
y2
12
=1

(2)假设存在直线l:y=kx+m(m≠0)与轨迹C相交于不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2),且满足|BM|=|BN|.
令线段MN的中点M0(x0,y0),则BM0垂直平分MN
x12
4
+
y12
12
=1
x22
4
+
y22
12
=1

∴两式相减可得,kMN=-
3x0
y0
=k②
∵BM0⊥MN,∴kBM0=
y0
x0-2
=-
1
k

由②③可得x0=-1,y0=
3
k

∴M0(-1,
3
k

∵M0在椭圆C的内部,故
1
4
+
9
12k2
<1

∴|k|>1
∵M0(-1,
3
k
)在直线l上,
3
k
=-k+m

∴|m|=|k+
3
k
|≥2
3
,当且仅当|k|=
3
时取等号
∴存在直线l满足条件,此时m的取值范围为(-∞,-2
3
)∪(2
3
,+∞).
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•荆门模拟)下列命题中正确的是
①②③
①②③

①如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,则m=1或m=2;
②定义域为R的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和;
③已知直线a、b、c两两异面,则与a、b、c同时相交的直线有无数条;
④方程
y-3
x-2
=
y-1
x+3
表示经过点A(2,3)、B(-3,1)的直线;
⑤方程
x2
2+m
-
y2
m+1
=1表示的曲线不可能是椭圆.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知经过点A(-2,0),且以(λ,1+λ)为方向向量的直线l1与经过点B(2,0),且以(1+λ,-3λ)为方向向量的直线l2相交于点P,其中λ∈R.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l:y=kx+m(m≠0)与轨迹C相交于不同的两点M、N,且满足|BM|=|BN|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,求实数a的值。

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科目:高中数学 来源:2013年高考数学复习卷E(十四)(解析版) 题型:解答题

已知经过点A(-2,0),且以(λ,1+λ)为方向向量的直线l1与经过点B(2,0),且以(1+λ,-3λ)为方向向量的直线l2相交于点P,其中λ∈R.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l:y=kx+m(m≠0)与轨迹C相交于不同的两点M、N,且满足|BM|=|BN|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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