Question

已知经过点A（-2，0），且以（λ，1+λ）为方向向量的直线l₁与经过点B（2，0），且以（1+λ，-3λ）为方向向量的直线l₂相交于点P，其中λ∈R．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足|BM|=|BN|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）对λ进行讨论，即可求点P的轨迹C的方程；
（2）假设存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足|BM|=|BN|，求出线段MN的中点M的坐标，利用M在椭圆C的内部，在直线l上，即可求得结论．
解答：解：（1）当λ≠0且λ≠-1时，直线l₁：，直线l₂：y=
消参可得①
当λ=0时，直线l₁：x=-2，直线l₂：y=0，其交点为（-2，0），适合①；
当λ=-1时，直线l₁：y=0，直线l₂：x=2，其交点为（2，0），适合①；
∴点P的轨迹C的方程为；
（2）假设存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且满足|BM|=|BN|．
令线段MN的中点M（x，y），则BM垂直平分MN
∵，，
∴两式相减可得，=k②
∵BM⊥MN，∴③
由②③可得
∴M（-1，）
∵M在椭圆C的内部，故
∴|k|＞1
∵M（-1，）在直线l上，
∴，
∴|m|=|k+|≥，当且仅当|k|=时取等号
∴存在直线l满足条件，此时m的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．
点评：本题考查轨迹方程，考查存在性问题的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．