Question

（08年西城区抽样测试理）（13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

Answer 1

解析：（Ⅰ）的定义域为，  ….. 1分         

的导数.       ………….. 3分

令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递增.                           ………….. 5分

所以，当时，取得最小值.                                         ………….. 6分

（Ⅱ）解：

解法一：令，则，           ………….. 8分

① 若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即.                      ………….. 10分

② 若，方程的根为 ，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以，时，，即，与题设相矛盾.

                                                                          ………….. 12分

综上，满足条件的的取值范围是.                                      ………….. 13分

解法二：依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立 .                                   ………….. 8分

令，   则.                          ………….. 10分

当时，因为，  

故是上的增函数，   所以 的最小值是，              ………….. 12分

从而的取值范围是.                                                 ………….. 13分