Question

（2012•辽宁）设f(x)=lnx+

x

-1，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜

3

2

（ x-1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，f(x)＜

9(x-1)

x+5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证法一，记g（x）=lnx+

x

-1-

3

2

（x-1），可得到g′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

3

2

＜0，从而g（x）为减函数，又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＜g（1），问题解决；
证法二，利用均值不等式，可证得，当x＞1时，

x

＜

x

2

+

1

2

．①，令k（x）=lnx-x+1，同理可证k（x）为减函数，于是有lnx＜x-1②，由①②可证得结论；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）-

9(x-1)

x+5

，可求得h′（x）=

2+ x

2x

-

54

(x+5)2

＜

(x+5)3-216x

4x(x+5)2

＜0（1＜x＜3），从而h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0，从而证得结论；

解答：证明：（Ⅰ）（证法一）：
记g（x）=lnx+

x

-1-

3

2

（x-1），则当x＞1时，g′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

3

2

＜0，
又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜

3

2

（ x-1）；…4′
（证法二）由均值不等式，当x＞1时，2

x

＜x+1，故

x

＜

x

2

+

1

2

．①
令k（x）=lnx-x+1，则k（1）=0，k′（x）=

1

x

-1＜0，故k（x）＜0，即lnx＜x-1②
由①②得当x＞1时，f（x）＜

3

2

（ x-1）；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）-

9(x-1)

x+5

，由（Ⅰ）得，
h′（x）=

1

x

+

1

2 x

-

54

(x+5)2

=

2+ x

2x

-

54

(x+5)2

＜

x+5

4x

-

54

(x+5)2

=

(x+5)3-216x

4x(x+5)2

，
令g（x）=（x+5）³-216x，则当1＜x＜3时，g′（x）=3（x+5）²-216＜0，
∴g（x）在（1，3）内是递减函数，又由g（1）=0，得g（x）＜0，
∴h′（x）＜0，…10′
因此，h（x）在（1，3）内是递减函数，又由h（1）=0，得h（x）＜0，
于是，当1＜x＜3时，f（x）＜

9(x-1)

x+5

…12′

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查构造函数的思想，考查分析、转化与综合计算与应用解决问题的能力，属于难题．