Question

设双曲线（a，b＞0）两焦点为F₁、、F₂，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F₂作∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．圆的一部分

Answer 1

【答案】分析：先作图，不妨设Q在双曲线的右支，延长F₂M交QF₁于P，在△QF₁F₂中有|QP|=|QF₂|，再由双曲线的定义得QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，然后由圆的定义得到结论．
解答：解：不妨设Q在双曲线的右支，延长F₂M交QF₁于P，
在△QF₁F₂中，QM既是角平分线又是高，故|QP|=|QF₂|，
又|QF₁|-|QF₂|=2a，∴|QF₁|-|QP|=2a即|PF₁|=2a，
在△PF₁F₂中，MO是中位线，∴|MO|=a，
∴M点轨迹是圆的一部分
故选D．
点评：本题主要是考查数形结合的解题方法，在过程中又考查了双曲线和圆的定义．