Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（ I）求等差数列{a_n}的通项公式；
（II）如果数列{b_n}是等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₄，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（I）因为数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，a₁=2，
则a₂=2+d，a₄=2+3d，a₈=2+7d．
由a₂，a₄，a₈成等比数列，得a₄²=a₂a₈，
即（2+3d）²=（2+d）（2+7d）
解得d=0或d=2，
所以a_n=2或a_n=2n．
（II）①当a_n=2时，b₁=a₂=2，b₂=a₄=2，公比q=1，
{b_n}的前n项和S_n=nb₁=2n；
②当a_n=2n时，b₁=a₂=4，b₂=a₄=8，公比q=2，
{b_n}的前n项和．
分析：（I）已知数列{a_n}是等差数列，设出公差d，又a₁=2，由a₂，a₄，a₈成等比数列得到关于d的一元二次方程，求出d有两解，分别就两个d求出两个通项公式；
（II）由（I）可得a₂，a₄，有两组解，又b₁=a₂，b₂=a₄，可得两组b₁，b₂，又知数列{b_n}是等比数列，可求出两个公比q，选择含有首项和公比的等比数列的前n项和公式，就两种情况分别求出即可．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可，本题公差有两个，所以有两个通项公式；求等比数列的前n项和时，由已知准确选择公式．